UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA- UFBA
DEPARTAMENTO DE
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA: CÁLCULO
NUMÉRICO
PROF: ANDRÉ FERREIRA
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
CÁLCULO NUMÉRICO
ALUNOS:
CARLOS AUGUSTO MOTA
DA LUZ
RAFAEL JAMBEIRO
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 01
SUMÁRIO
Resolução de equações algébricas e transcendentes 1
Isolamento de raízes 2
Métodos Numéricos 3
Método da Bisseção 3.1
Método das cordas 3.2
Método de Newton 3.3
Método da iteração Linear 3.4
Interpolação 4
Interpolação
de Lagrange 4.1Interpolação com uso de diferenças divididas 4.2
Interpolação
com uso de diferenças finitas 4.3
Erros de truncamento e comparação dos métodos 4.4
1 Resolução de equações algébricas e transcendentes
Existe uma necessidade em problemas de ciência e Engenharia,
de se determinar um número E para a qual uma função F(x) seja zero ou seja F(E)
= 0.
Este número E é chamado raiz da equação F(x) = 0 ou zero da
função f(x).
Para se calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
a) Isolar
a raiz,ou seja, achar um intervalo [a,b] o menor possível que contenha uma e
somente uma raiz da equação F(x).
b) Melhorar
o valor da raiz aproximada, isto é, refina-lá até o grau de exatidão requerido.
2 Isolamento de raízes
Teorema: Se uma função contínua F(x) assume valores de
sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b], isto: F(a)xF(b) < 0,
então o intervalo conterá no mínimo uma raiz da equação F(x), ou seja, haverá
no mínimo um número E que pertence [a,b], tal que F(E) = 0.
A raiz E será definida e única se a derivada F’(x) existir e
preservar o sinal dentro do intervalo (a,b), isto é:
Se F’(x) > 0 ou F’(x) < 0 para a < x < b.
Equações algébricas.
Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1)
A = P(x) =
AnX(En) + An-1X(En-1) + An-2X(En-2)…….
Teorema: Uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes,
reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com sua
multiplicidade.
Uma raiz E da equação A tem multiplicidade m se:
P(A) = P’(A) = P’’(A)...... = P(Em-1)(A) = 0 e P(Em)(A) ≠ 0
onde,
P(Ej)(A) = d(Ej)F(x) / d x(Ej)
Exemplo:
Seja P(x) = (x-2)(E3)(x-1)
P(x) = x(E4) – 5x(E3) + 6x(E2) + 4x – 8 ; P(x) = 0
P’(x) = 4x(E3) – 15x(E2) + 12x + 4 ; P’(x) = 0
P’’(x) = 12x(E2) – 30x + 12 ; P’’(x) = 0
P’’’(x) = 24x – 30 ; P’’’(x) = 0
Então A = 2 é uma raiz de multiplicidade m = 3
Teorema: Se os coeficientes da equação algébrica A são
reais, então as raízes complexas desta equação são complexas conjugadas em pares,
isto é, se E1 = a + bi é uma raiz de multiplicidade m, então E2 = a – bi também
é uma raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade m.
Exemplo:
Seja P(x) = x(E2) – 6x + 10
E = 6 ± (36-40)(E-1/2) / 2 = 6 ± 2i / 2
Corolário: Uma equação algébrica de grau ímpar com
coeficientes reais tem no mínimo uma raiz real.
Exemplo:
Seja: P(x) = (x(E2) – 6x + 10) (x-1)
Suas raízes são:
E1 = 3 + i ; E2 = 3 – i ; E3 = 1
Determinação número e localização de raízes
Na obtenção das raízes e sua localização pode-se seguir
muitos caminhos.
A seguir duas maneiras:
Para determinar o número e a localização aproximada de
raízes de uma função, a fim de obter uma estimativa inicial a ser usada nos
processos interativos, pode-se examinar o comportamento dessa função através do
esboço gráfico.
Uma raiz real de uma equação F(x) = 0 é um ponto onde a
função F(x) toca o eixo dos x.
Para se achar a raiz, basta que se faça um esboço da função
F(x) e que se verifique em que ponto do eixo dos x a função se anula.
A outra maneira é pelo teorema de Bolzano.
Seja P(x) = 0 uma equação algébrica com coeficientes reais e
x pertecente [a,b].
Se P(a) x P(b) < 0, então existe um número ímpar de
raízes reais no intervalo [a,b].
Se P(a) x P(b) > 0, então existe um número par de raízes
ou não existem raízes reais no intervalo [a,b].
3 Métodos Numéricos
3.1 Método da Bisseção
Consiste em descobrir duas abcissas a e b razoavelmente
próximas, tais que F(a) e F(b) tenham sinais contrários ou F(a) x F(b) < 0.
Dessa forma espera-se que uma raiz r se encontre no
intervalo [a,b] e poderia se tomar para valor de x0 a abcissa da metade desse
intervalo, ou suja:
F(a) x F(b) < 0 x0
= a + b/2
Verificam-se os novos intervalos e continua o processo até
que F(x) = 0.
Exemplo:
Achar uma aproximação da raiz x(E3) – 3x – 1 = 0.
Tomemos 4 intervalos iguais entre -1 e 1.
1°) a = -1 e b = -1/2 F(a)
= -5 F(b) = -21/8 Logo F(a) x F(b) > 0
2°) a = -1/2 e b = 0 F(a)
= -21/8 F(b) = -1 Logo F(a) x F(b) < 0
3°) a = 0 e b = 1/2 F(a)
= -1 F(b) = 5/8 Logo F(a) x F(b) > 0
Tomamos que x0 = a + b/2 = 0,25
Convergência
Em alguma etapa do processo tem-se a ou raiz exata A ou uma
seqüência infinita de intervalos, tal que:
F(an) x F(bn) < 0 n
= 1, 2, 3...
Cada intervalo é dividido ao meio:
bn – an = b – a/2(En) ou
Módulo xn – xn-1 = b-a/2(En)
Desde que Módulo xn – xn-1≤ A então,
Módulo b-a/2(En+1) ≤ A
3.2 Método das cordas
Seja a determinação da raiz de F(x), compreendida no
intervalo a < x < b, ou seja:
Ligando-se os pontos (a,F(a)) e (b,F(b)) através de um
segmento de reta, determina-se sobre o eixo dos x o ponto a1, repetindo-se o
procedimento em relação aos pontos (a1,F(a1) e (b,F(b)), determina-se a2 e
assim sucessivamente até na+1 tender a x.
Analiticamente temos:
A equação da reta que passa pelos pontos (a,F(a)) e
(b,F(b)):
y – y1 / y2 – y1 = x – x1 / x2 – x1
F(x) – F(a) / F(b) – F(a) = x – a / b – a
F(x) = F(a) + [ F(b) - F(a) ] (x – a / b – a)
Fazendo x = a1:
F(x) = 0 = F(a) + [ F(b) - F(a) ] (a1 – a / b – a)
Portanto:
a1 = a – (b – a) F(a) / F(b) – F(a)
Generalizando:
an + 1 = an
– (b – an) F(an) / F(b) – F(an)
3.3 Método de Newton
Seja F(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e A o seu
único zero neste intervalo, as derivadas F’(x) e F’’(x) devem também ser
contínuas.
Desenvolvendo F(x) pela serie de Taylor, na vizinhança de um
dos limites acima, considerando os dois primeiros termos da serie temos:
F(x) =
F(xn) + F’(xn) (x – xn) + F’(A)/2 . (xm – xn)(E2)
Desprezando-se o termo do erro de truncamento, temos:
F(xm) = F(xn) + F’(xn)(xm – xn) = 0
F(xn) + xm F(xn) – (xn) F’(xn) = 0
xm F’(xn) = xn F’(xn) – f (xn)
xm = xn – F(xn) / F’(xn)
Fazendo xm = xn+1 temos:
xn+1 = xn - F(xn) / F’(xn)
Interpretação Geométrica:
tg α = F(x0)/ x0 – x1 = F’(x0)
x0 – x1 =
F(x0)/ F’(x0)
x1 = x0 -
F(x0)/ F’(x0)
tg β =
F(x1)/ x1 – x2 = F’(x1)
x2 = x1 – F(x1)/ F’(x1)
Portanto,
xn + 1 = xn
– F(xn)/ F’(xn)
Escolha de
x0
Pela figura 08 em anexo vê-se que traçando a tangente a
partir do ponto A [x0, F(xn)], pode-se encontrar um ponto x, que não pertença a
[a,b] e o método não convergir. Por outro lado, escolhendo- se b e x0 o
processo convergirá.
Convergência:
É condição suficiente para a convergência do método de
Newton que:
F’(x) e F’’(x) sejam nulas e preservem o sinal em [a,b] e x0
seja tal que F(x0) . F’’(x0) > 0.
3.4 Método da iteração Linear
Sejam F(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e A um
elemento pertencente a este intervalo tal que F(A) = 0.
Por um artifício algébrico é sempre possível transformar
F(x) em x = F(x), onde F(x) é uma função de iteração.
Sendo x0 uma primeira aproximação da raiz A, calcula-se
F(x0), então:
x1 = F(x) x2 =
F(x1) x3 = F(x2) .....
Ou seja,
Xn+1 = F(xn)
Se a seqüência {x0, x1, x2, x3...} é convergente, ou seja,
se o limite xn (n indo para infinito) tender a A, F(x) é contínua.
Então, A = F(A), onde A é uma raiz de F(x) = 0.
Interpretação Geométrica
Traçam-se no plano xy os gráficos das funções y = x e y =
F(x). Cada raiz real A da equação x = F(x) é uma abcissa do ponto de iteração R
ou curva y = F(x) com a bissetriz y = x.
4 Interpolação
Conceito Interpolação
A interpolação consiste em determinar uma função (iremos considerar
polinómios), que assume valores conhecidos em certos pontos (que chamaremos nós
de interpolação). A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori
arbitrária, e deve ser adequada às caracteristicas que pretendemos que a função
possua. A interpolação polinomial pode-se revelar desadequada se os nós de interpolação não forem escolhidos convenientemente (o que leva ao uso de nós de Chebyshev...). De um modo geral, o conjunto das funções interpoladoras é determinado por um número finito de parâmetros (no caso dos polinómios, são os seus coeficientes...) que deverá ser igual ao número de condições impostas (ou seja, ao número de nós), para que haja apenas uma solução. Nos casos que veremos, a determinação dos parâmetros, que definem a função interpoladora, irá levar-nos à resolução de um sistema linear.
4.1 Interpolação de Lagrange
Consideremos um conjunto de pontos (designados nós de
interpolação)
x0 , ... , xn , a que estão associados os valores de uma função f0 , ... , fn, respectivamente.
Pretendemos encontrar um polinómio p tal que:
x0 , ... , xn , a que estão associados os valores de uma função f0 , ... , fn, respectivamente.
Pretendemos encontrar um polinómio p tal que:
|
p ( xi ) = fi
|
para i = 0, ..., n.
O polinómio de 3º grau interpola a
função em 4 pontos.
Escrevendo p( x ) = a0 + a1 x + ... + am xm, obtemos o
sistema
|
a0 + a1
x0 + ... + am x0m = f0
|
|
...
|
|
a0 + a1 xn + ... + am xnm
= fn
|
e para que este sistema seja
possível e determinado é pelo menos necessário que m=n.
Obtemos assim o sistema linear :
Obtemos assim o sistema linear :
|
é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
=
|
é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
em que a matriz do sistema é conhecida como Matriz de
Vandermonde.
A existência e unicidade do polinómio interpolador é equivalente a assegurar que o
sistema é possível e determinado para quaisquer x0 , ... , xn distintos.
A existência e unicidade do polinómio interpolador é equivalente a assegurar que o
sistema é possível e determinado para quaisquer x0 , ... , xn distintos.
Teorema:
Dados n+1 nós, x0 , ... , xn e os respectivos valores f0 , ... , fn,
existe um e um só, polinómio interpolador de grau <n, para esses valores.
Dados n+1 nós, x0 , ... , xn e os respectivos valores f0 , ... , fn,
existe um e um só, polinómio interpolador de grau <n, para esses valores.
Unicidade:
Supondo que existem dois polinómios interpoladores p e q de grau < n, então o polinómio p(x) - q(x) tem grau < n e n+1 raízes, já que, sendo polinómios interpoladores, verificam :
Supondo que existem dois polinómios interpoladores p e q de grau < n, então o polinómio p(x) - q(x) tem grau < n e n+1 raízes, já que, sendo polinómios interpoladores, verificam :
p ( xi ) = fi = q ( xi )
para i = 0, ..., n.
Consequentemente, como tem n+1 raízes e grau < n, o polinómio p(x)-q(x) terá que ser nulo, logo p=q .
Consequentemente, como tem n+1 raízes e grau < n, o polinómio p(x)-q(x) terá que ser nulo, logo p=q .
Podemos mostrar a existência, construindo os:
|
Polinómios de Lagrange
Dados n+1 nós de interpolação x0
, ... , xn, definimos para cada i = 0, ..., n o polinómio de Lagrange li(x)
de grau n tal que :
Podemos deduzir uma expressão
explícita dos polinómios de Lagrange.
Fixando i e variando j = 0, ..., n , obtemos:
E a constante Ci pode determinar-se, pois li(xi
) = 1, o que implica
Consequentemente:
para i = 0, ..., n .
|
Agora, basta considerar a Fórmula Interpoladora de
Lagrange:
|
pn( x ) = f0
l0(x) + ... + fn ln(x)
|
4.2 Interpolação com uso de diferenças divididas
As diferenças divididas são razões
incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se
utilizem pontos suficientemente próximos. No caso que nos interessa, iremos
utilizar os nós de interpolação que podem estar bastante afastados. Veremos que
para funções regulares é possível estabelecer uma relação entre o valor de uma
diferença dividida e a derivada num certo ponto.
A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por:
A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por:
f [ xi, xj]
= ( fi - fj ) / ( xi - xj
)
e uma diferença dividida de ordem k,
pode ser obtida a partir das anteriores :
f [ xi , ... , xi+k]
= ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi,
... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )
(a regra subjacente é que no denominador vai ficar a
diferença entre os nós, que não são comuns às diferenças divididas do
numerador).
Observação: Qualquer permutação da ordem dos nós não
altera o resultado.
Ou seja, por exemplo, f [ x1, x2 , x3 ] = f [ x2, x3 , x1 ]
Ou seja, por exemplo, f [ x1, x2 , x3 ] = f [ x2, x3 , x1 ]
Nota: Podemos considerar os valores fi
como diferenças divididas de ordem zero, e reparamos que isso é coerente com a
definição da diferença de 1ª ordem.
4.3
Interpolação com uso de diferenças finitas
Uma diferença finita de uma função F(x) é o valor da função
no ponto x1 menos o valor da função no ponto x2
Algebricamente temos:
F(x1) – F(x2)
Exemplo
Dada a função:
|
x
|
y
|
|
3,5
|
9,82
|
|
4
|
10,91
|
|
4,5
|
12,05
|
|
5
|
13,14
|
|
5,5
|
16,19
|
Tabela diferenças finitas:
|
i
|
xi
|
yi
|
Δyi
|
Δ(E2)yi
|
Δ(E3)yi
|
Δ(E4)yi
|
|
0
|
3,5
|
9,82
|
1,09
|
0,05
|
-0,1
|
2,11
|
|
1
|
4
|
10,91
|
1,14
|
-0,05
|
2,01
|
|
|
2
|
4,5
|
12,05
|
1,09
|
1,96
|
|
|
|
3
|
5
|
13,14
|
3,05
|
|
|
|
|
4
|
5,5
|
16,19
|
|
|
|
|
4.4 Erros de truncamento e comparação dos métodos
O erro de truncamento será dado pela fórmula abaixo, que
será usado em geral para qualquer tipo de interpolação polinomial.
Et = (x – x0)(x – x1).....(x – xn) F(En+1)(A)/n+1)!
Comparando os métodos, temos:
|
Operações/Fórmulas
|
N°
adições
|
N°multiplicações
|
N°divisões
|
Total
|
|
Newton
|
n²+
n-2
|
2n-3
|
n²-n/2
|
3n²+5n-10
/ 2
|
|
Lagrange
|
n²+
n-1
|
n²-1
|
2n
|
2n²+3n-2
|
O número de operações efetuadas quando utilizamos a fómula
de Newton é inferior ao número de operações da fórmula de Lagrange. Entretanto,
se no problema a ser resolvido existem, para um mesmo conjunto de x, várias
funções y, nas quais devem ser feitas interpolações, é vantajoso o emprego da
fórmula de Lagrange, pois a tabela de diferenças e produtos, uma vez
construída, seria usada tantas vezes fossem as interpolações, bastando para
isso substituir-se os valores de y.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 02
SUMÁRIO
Integração e diferenciação numérica 1
Fórmulas de Newton-Cotes 2
Regra
dos Trapézios (simples) 2.1
Primeira Regra de Simpson 2.2
Segunda Regra de Simpson 2.3
Erros de Truncamento 2.4
Extrapolação de Richardson 3
Quadratura Gaussiana 4
Resolução de integrais duplas 5
Equações Diferenciais Ordinárias 6
Método de Euler 6.1
Métodos com uso das derivadas 7
Métodos de Runge-Kutta 8
Métodos de Adams 9
Red. de EDOs
superior a sist. eq. de 1° ordem 10
1 Integração e diferenciação numérica
Integração
e diferenciação numérica são métodos para aproximar a
função primitiva F, resultante de integrar uma função conhecida f.
Mais concretamente, basta-nos concentrar na integração de
uma função f num certo intervalo [a, b]. A idéia base é aproveitar a
aproximação por interpolação polinomial, para obter uma aproximação razoável da
função integrada através de polinómios, que são funções fáceis de integrar.
Um exemplo simples é aproximar a função por retas interpoladoras nos pontos a e b,
Um exemplo simples é aproximar a função por retas interpoladoras nos pontos a e b,
claro que, neste caso, a
aproximação pode estar desajustada, e podemos melhorar a aproximação, usando,
por exemplo, um polinómio de grau superior.
Dum modo geral, com vista a aproximar o integral
vamos considerar fórmulas de
integração (também designadas fórmulas de quadratura do tipo:
onde x0 , ... , xn
são pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b], designados por nós de
integração, e os coeficientes A0 , ... , An são
coeficientes a determinar, independentes da função f, que designamos pesos.
Um critério habitual, para determinar os pesos na fórmula
de quadratura, é exigir que ela dê o valor correto do integral de polinómios de
um certo grau.
Assim, se a fórmula verificar
In( qm ) = I ( qm )
para qualquer polinómio qm
de grau < m, dizemos que a fórmula de quadratura tem, pelo menos,
grau m.
Se, para além disso, tivermos
In( qm+1 ) =I ( qm+1 )
para um certo polinómio qm+1
de grau m+1, dizemos que a fórmula de quadratura tem grau m.
2 Fórmulas de Newton-Cotes
A função f(x) é aproximada por um polinômio interpolador gerado a partir da
forma de Gregory-Newton para pontos igualmente espaçados no intervalo [a,b]. As
fórmulas de Newton-Cotes variam de acordo com o grau do polinômio interpolador,
como segue.
2.1
Regra dos Trapézios (simples)
Trata-se do caso mais simples de Fórmula de Newton-Cotes fechada.
Neste caso, considera-se n=1 e tem-se dois nós de integração:
x0 = a, x1 = b
e obtemos para os valores dos pesos:
A0 = A1 = ( b - a ) / 2
(Isto pode ser obtido, quer através da resolução do sistema
do método dos coeficientes indeterminados, quer através dos integrais dos
polinómios de Lagrange, l0(x) e l1(x) )
Tem-se assim a Regra dos Trapézios (simples):
|
T( f ) = I1( f ) = ( f(a) + f(b)
) ( b - a ) / 2
|
que corresponde exatamente ao valor da área do trapézio
definido pela reta interpoladora.
Teorema (Valor Intermediário para integrais):
Sejam f , g funções contínuas em [a,b].
Se g não muda de sinal no intervalo [a, b] temos:
Sejam f , g funções contínuas em [a,b].
Se g não muda de sinal no intervalo [a, b] temos:
Erro da Regra dos Trapézios
(simples)
Determinar majorações para o valor
absoluto do erro
E( f ) = I ( f ) - T ( f )
Então,
E( f ) = I ( f ) - T
( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1
)
Da fórmula do erro de interpolação
tem-se,
f (x) - p1(x)
= f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
e como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no
intervalo [a, b] podemos aplicar o Teorema do Valor Intermédio para Integrais e
obtemos
 |
Regra dos Trapézios (Composta)
Usando a regra dos trapézios simples para calcular o integral
num intervalo [a, b], tem-se uma aproximação grosseira do valor do integral,
por isso, decompõe-se esse intervalo em sub-intervalos cada vez mais pequenos,
e nesses sub-intervalos aplicamos a regra dos trapézios simples.
Trata-se, neste caso, de fazer uma aproximação, da função integranda.
Trata-se, neste caso, de fazer uma aproximação, da função integranda.
Para simplificar, considera-se que o tamanho desses
sub-intervalos é constante = h.
Assim, defini-se h = ( b - a ) / N, onde N é o número de sub-intervalos ( = número de nós - 1), e tem-se:
xi = a + i h
portanto, o valor do integral é
igual à soma dos integrais nos sub-intervalos.
logo, aplicando a regra dos
trapézios simples a cada um desses sub-intervalos, obtem-se
.
Reparando que há
termos que aparecem repetidos na soma, podemos simplificar a expressão, e
obtemos a Regra dos Trapézios Composta:
 |
Erro da regra dos trapézios
composta
Como já obtivemos a fórmula do
erro para a regra simples, o erro da regra dos trapézios composta será a soma
dos erros cometido em cada sub-intervalo, ou seja :
.
como N = h ( b - a ), e
como podemos aplicas o teorema clássico do valor intermédio à média das 2as
derivadas, obtemos a fórmula do erro da regra dos trapézios composta:
 |
2.2 Primeira Regra de Simpson
Nesta regra, a função a ser
integrada será aproximada por um polinômio interpolador é de ordem 2. Portanto,
necessita-se de três pontos para a interpolação, ou seja, 
, onde 
e 
. Tem-se a expressão:
, onde e . Tem-se a expressão:
A partir
da fórmula de Gregory-Newton, tem-se:
Resultando
em:
Para
facilitar esta integração, faz-se uma mudança de variáveis:
Resultando
em:
Como e
derivando em relação a x, tem:
e
derivando em relação a x, tem: 
.
Mudando
os limites de integração:
Integrando
a expressão anterior, tem-se:
Substituindo
as expressões, tem-se:
O Erro de truncamento resultante
da integração pela Primeira Regra de Simpson é dado por:
Como o
ponto c não é um ponto conhecido, a
expressão anterior pode ser aproximada pela seguinte expressão:
Exemplo: Calcular 
, utilizando a
Primeira Regra de Simpson.
, utilizando a
Primeira Regra de Simpson.|
i
|
 |
 |
|
0
|
3
|
0,333333
|
|
1
|
3,3
|
0,303030
|
|
2
|
3,6
|
0,277778
|
O erro é dado por:
, como visto, 
, 
, 
, 
e 
. Para 
o valor 
, portanto:
Primeira Regra de Simpson
– Fórmula Composta
Para melhorar o resultado,
pode-se subdividir o intervalo [a,b] de integração em n sub-intervalos de amplitude h e aplicar a
Primeira Regra de Simpson em cada sub-intervalos. Pela necessidade de haver
três pontos em cada sub-intervalos, o número de sub-intervalos deve ser par. A
formulação é dada por:
Resultando em:
O Erro de truncamento resultante
da integração pela Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta é dado por:
onde n é o número de sub-intervalos.
Como o ponto c não é um ponto conhecido, a expressão anterior pode ser aproximada
pela expressão abaixo:
2.3
Segunda Regra de Simpson
Nesta regra, a função a ser
integrada será aproximada por um polinômio interpolador é de ordem 3. Portanto,
necessita-se de quatro pontos para a interpolação, ou seja, 
, onde 
e 
. Tem-se a expressão:
, onde e . Tem-se a expressão:
De forma semelhante ao realizado
no caso da Primeira Regra de Simpson, chega-se a expressão:
(7.24)
O Erro de truncamento resultante
da integração pela Segunda Regra de Simpson é dado por:
Como o ponto c não é um ponto conhecido, a expressão anterior pode ser
aproximada pela expressão.
Segunda Regra de Simpson –
Fórmula Composta
A expressão da Segunda
Regra de Simpson – Fórmula Composta é dada por:
Resultando em:
O número de subintervalos n deverá ser múltiplo de três, pois a
regra utiliza um polinômio interpolador de grau três.
O Erro de truncamento resultante
da integração pela Segunda Regra de Simpson – Fórmula Composta é dado por:
Como o ponto c não é um ponto conhecido, a expressão anterior pode ser
aproximada pela expressão abaixo:
2.4
Erros de Truncamento
Os erros de truncamento foram
discutidos em cada item das formulas de Newton-Cotes.
3 Extrapolação
de Richardson
A extrapolação de Richardson é um método utilizado para a melhoria do
resultado obtido na aplicação das formulas de integração ded Newton-Cotes e
baseia-se na aplicação repetida de tais fórmulas.
Para a regra do Trapézios
O resultado obtido na aplicação
da regra dos trapézios pode ser escrito na seguinte forma:
I = I1 + E1
Onde:
I1 – é o resultado obtido na 1°
aplicação da regra
I – é o valor exato da integral
E1 = - [1/n1(E2)] (b-a)(E3)/12
F’’(ε)
n1 – é o número de sub-intervalos
utilizados
I = I2 + E2
Onde E2 = - [1/n2(E2)]
(b-a)(E3)/12 F’’(ε)
I = I1 + E1 = I2 + E2
Desenvolvendo tem-se:
I = I2 + n1(E2)/ (n2(E2)- n1(E2))
(I2-I1)
Para as regras de Simpson
O cálculo para determinação da
fórmula ded extrapolação de Richardson para as regars de Simpson é feito de
modo semelhante ao para a regra dos trapézios.
I = I2 + n1(Ep)/ (n2(Ep)- n1(Ep))
(I2-I1)
Onde:
P = 2 para a regra dos trapézios
P = 4 para a regra dee Simpson
4 Quadratura Gaussiana
Como na regra dos trapézios,
vamos considerar em uma curva de uma determinada função, dois pontos sobre esta
curva, e uma reta unindo esses dois pontos. No método de quadratura Gaussiana,
mantemos o intervalo a b de integração, mas pegamos outros dois pontos, unidos
por uma reta, de modo que a área que falta para completar a curva seja igual à
área que ultrapassou a curva. Desse modo, temos um balanceamento de erros.
A solução numérica da integral foi resolvida a
partir da integração de um polinômio
interpolador, gerado pela forma de Gregory-Newton, que aproxima a função f(x).
Os pontos utilizados na determinação do polinômio interpolador foram os do
limites de integração ou subintervalos com amplitude constante entre esses
limites. Para dois pontos, tem-se a Regra do Trapézio, como pode ser visto na
figura.
Suponha agora que vamos gerar um polinômio
interpolador, mas utilizando outros pontos diferentes dos limites de
integração, como mostrado na figura:
A reta interpoladora é
determinada a partir dos pontos 
e 
. Observe que se os pontos forem bem escolhidos, o valor de
área entre os pontos 
e 
, que se está integrando a mais, poderá compensar as áreas
que se está integrando a menos entre os pontos 
e 
e entre os pontos e 
. A questão é como pode-se definir estes pontos.
e . Observe que se os pontos forem bem escolhidos, o valor de
área entre os pontos e , que se está integrando a mais, poderá compensar as áreas
que se está integrando a menos entre os pontos e e entre os pontos e . A questão é como pode-se definir estes pontos.
Para que esta idéia seja melhor
entendida, suponha que a expressão da Regra do Trapézio seja apresentada da
seguinte forma:
Suponha agora que esta
regra dê resultado exato quando a função integrada é uma constante, ou uma linha reta 
. A partir destas considerações chega-se as expressões:
. A partir destas considerações chega-se as expressões:
Resolvendo
o sistema linear acima, chega-se a:
A
expressão resultante é dada por:
Observe que chega-se a expressão
da Regra do Trapézio. Significa que para a integração de polinômios até a ordem
um a regra é exata.O Método da Quadratura Gaussiana tem como objetivo ser exato
para polinômios com ordem maior que os métodos que utilizam o polinômio
interpolador de Gregory-Newton, para o mesmo número de pontos. Neste caso, as
regras são exatas para integração de polinômios até a ordem (n-1), onde n é o número de pontos. O Método da Quadratura Gaussiana tem como
objetivo ser exato para polinômios até a
ordem (2n-1).
Método da Quadratura Gaussiana
Neste método os pontos não são
mais escolhidos pelo usuário, mas seguem um critério bem definido, com o
objetivo de fornecer resultados exatos para polinômios até a ordem
(2n-1), como visto acima.
Seja a solução numérica da
integral:
A solução pelo método é dada por:
sendo que os coeficientes e os pontos 
são definidos a partir
da premissa de exatidão citada acima.
são definidos a partir
da premissa de exatidão citada acima.
Etapas do Método
1)
Inicialmente o intervalo de integração deve ser
mudado de [a,b] para [-1,1] para normalizar a solução e resultar em pontos
padronizados. Pode-se conseguir através da troca de variáveis x para t:
Substituindo as
expressões, chega-se a:
2)
Fixar um número n (inteiro positivo), tal que, se f(x) for um polinômio de grau até a
ordem (2n-1), a solução numérica da
integral será exata, ou seja:
Os valores de e 
, para i=0, 1, 2,.....,
n-1, são as incógnitas a serem determinadas e são independentes da função
escolhida.
, para i=0, 1, 2,.....,
n-1, são as incógnitas a serem determinadas e são independentes da função
escolhida.
3)
O erro cometido pela integração numérica é dado por:
Determinação das Incógnitas e 
para o caso particular
de n=2
para o caso particular
de n=2
O resultado da integração deve
ser exato para polinômios de grau até três. A expressão para este caso resulta
em:
Para a determinação das
incógnitas , 
, e 
, independentes da função F(t), necessita-se de quatro equações. Como essas incógnitas
independem da função F(t), escolhe-se
as funções elementares , .
, e , independentes da função F(t), necessita-se de quatro equações. Como essas incógnitas
independem da função F(t), escolhe-se
as funções elementares , .
Tem-se as seguintes equações:
Que explicintando, tem-se;
Solucionando as integrais,
chega-se ao sistema de equações não-lineares:
A solução do sistema de
equações não-lineares resulta em:
Tem-se como solução
aproximada da integral:
Esta solução é exata para
polinômios de grau até três.
Da mesma forma, pode-se encontrar
o valor dos parâmetros para um número n de pontos. Na tabela abaixo
apresenta-se para n=1,2,3 e 4.
Tabela de
Parâmetros para n=1, 2, 3 e 4
Exemplo: Utilizando
o Método da Quadratura Gaussiana, determinar o valor da integral
, com n=2.
Deve-se normalizar os
intervalos de integração de . Para tanto, faz-se a mudança de variáveis:
Substituindo, tem:
Exemplo: Utilizando
o Método da Quadratura Gaussiana, determinar o valor da integral
, com n=2.
Deve-se normalizar os
intervalos de integração de . Para tanto, faz-se a mudança de variáveis:
Substituindo, tem:
5 Resolução de integrais duplas
Seja:
I = Integral dupla F(x,y) dx dy
A integral que se deseja calcular, onde D é o retângulo delimitado por:
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
Pode ser escrita na forma:
I = Integral de a até b dx Integral de c até d F(x,y) dy
Chamando,
Integral de c até d F(x,y) dy de G(x)
Pode-se escrever,
Integral de a até b G(x) dx.
6 Equações Diferenciais Ordinárias
Equações diferenciais ordinárias – EDO – ocorrem com muita freqüência
na descrição de fenômenos da natureza. Um exemplo bem simples é o crescimento
da população de bactérias numa colônia. Pode-se supor que sob condições
ambientais favoráveis, a taxa de crescimento da colônia seja proporcional ao
número de indivíduos num dado tempo:
Temos: y(t) = Ky(t)
6.1 Método de Euler
Seja:
y’ = F(x,y)
y(x0) = y0 = n
Desejam-se aproximações y1, y2....., ym para as soluções exatas y(x1),
y(x2)...., y(xm)...
Como se desconhece o valor y(x1), toma-se y1 como aproximação para
y(x1).
Para isso, traça-se a tangente T á curva y(x) no ponto (x0, y(x0)),
cuja equação é:
y(x) – y(x0) = (x – x0)y’(x0)
Fazendo x = x1 e lembrando que y(x0) = y0, x1 – x0 = h, y’(x0) = F(x0, y(x0)) e y1 = y(x1), tem-se:
y1 = y0 + hf(x0, y(x0))
Generalizando,
y0 = y(a) = n
y(j+1) = yj + hf(x0, y(x0)), com j = 0, 1, 2, 3....
Erro = e1 = y1 – y(x1)
7 Métodos com uso das derivadas
O método de Euler foi obtido a
partir da fórmula de Taylor, tomando-se todos os termos até o termo em h.
Teoricamente, pode-se afirmar que
a fórmula de Taylor fornece tantos métodos quantos se queiram, contanto que se
calculem as derivadas necessárias.
y(j+1) = yj + hy’(xj) + h(E2)/2!
Y”(xj), j = 0, 1, 2, 3....m-1
y’’(xj) = df/dx (xj,yj) +
F(xj,yj) df/dy (xj,yj)
8 Métodos de Runge-Kutta
Os métodos de Runge-Kutta são muito utilizados, principalmente porque podem ser expressos por uma seqüência de fórmulas explícitas; sua implementação em computadores também é extremamente simples. Estes métodos utilizam o valor da função no ponto médio do intervalo (t+h/2).
Simplificando a notação (os subscritos iguais a n foram omitidos), as fórmulas para a solução de dy/dt=F(t,y)são as seguintes:
Outro atrativo dos métodos de Runge-Kutta é a fácil aplicação a sistemas de EDOs. Para um sistema de duas equações, dx/dt = F(t, x, y) e dy/dt = G(t, x, y), por exemplo:
9 Métodos de Adams
Segunda ordem
Manter os três primeiros termos:
Quarta ordem
Manter os cinco primeiros termos:
Uma pausa para reflexão
Todos os métodos acima descritos são explícitos, já que ao calcularmos yn+1 , todos os valores do lado direito da equação são conhecidos.
Observe que, quanto maior a ordem n do método:
Manter os três primeiros termos:
Quarta ordem
Manter os cinco primeiros termos:
Uma pausa para reflexão
Todos os métodos acima descritos são explícitos, já que ao calcularmos yn+1 , todos os valores do lado direito da equação são conhecidos.
Observe que, quanto maior a ordem n do método:
- Melhor a precisão, O(hn+1)
para cada intervalo, O(hn) global
- Mais pontos são necessários
para iniciar o cálculo
10 Redução de EDOs superior a sistemas
de equações de primeira ordem
Integrando A e B sem a
necessidade de acrescentar a constante de in-tegração porque estamos procurando
por apenas uma solução, obte-mos as funções A = A(x) e B = B(x).
Exemplo: A equação y = x10 é tal
que a solução da equação homogênea associada pode ser
escrita como:
y(x) = A 1 + B x + C x2
Vamos montar o sistema:
A (x) + B (x) x + C
(x) x2= 0B (x) + 2C (x) x = 02C
(x) = x10
Dessa forma: C(x) =122x11
Como B (x) = −x11, entãoB(x) =
−112x12
A função A = A(x) obtemos pela solução
Redução da ordem de uma equação diferencial
Equação do tipo y(n)= f(x)A
solução será obtida por n integrais sucessivas da
função f = f(x).
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