Cálculo Numérico - Completo!

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA- UFBA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO

PROF: ATAUALPA MAGNO

TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO

ALUNOS

CARLOS AUGUSTO MOTA DA LUZ

CARLOS MANUEL F DE CARVALHO

FABIANO BLANCO

1º QUESTÃO

Método bisseção:

Resolução:

F(x) = x²-8

F(0)= 0²-8 = -8 <0

F(1)= 1²-8 = -7 <0

F(2)= 2²-8 = -4 <0

F(3)= 3²-8 = 1 >0

Temos em F(2) e F(3) sinais opostos. Logo, existe uma ou mais raízes no intervalo (2,3).

F’(x)= 2x em (2,3) é positiva, portanto a raiz é única.

Sendo n= 4

N	An	Bn	Xn	F(Xn)	E
0	2,00000	3,00000	2,50000	-1,55000	0,50000
1	2,50000	3,00000	2,75000	-0,43750	0,25000
2	2,75000	3,00000	2,87500	0,265630	0,12500
3	2,75000	2,87500	2,81250	-0,08984	0,06250
4	2,81250	2,87500	2,84375	0,086914	0,03125

A raiz é ε= 2,84375.

Método de Newton- Raphson:

F(x) = x²-8

F’(x) = 2x

F’’(x) = 2 → Int. (2,3)

Queremos x0  tal que F(x0). F”(x0) >0, logo x 0 = 2.

N	Xn	F(Xn)	F’(Xn)	F(Xn)/ F’(Xn)	Xn+1
0	2,00000	-4,00000	4,00000	-1,00000	3,00000 = x1
1	3,00000	1,00000	6,00000	0,16667	2,83333 = x2
2	2,83330	0,02776	5,66666	0,00490	2,82843 = x3
3	2,82843	0,00002	5,65686	0,00001	2,82842 = x4

A raiz é aproximadamente 2,82842

Método Iteração Linear:

1)    F(x) = x²-8 = 0→ x² = 8 → x = ±√8 → x = √8 ( função constante)

2) x²-8 = 0        x.x = 8 →  x= 8/x, x ≠ 0 (não existem raízes).

Logo, não é possível resolver por este método.

2° QUESTÃO

F(x) = x²-5

Método da Bisseção:

Resolução:

F(0)= 0²-5 = -5

F(1)= 1²-5 = -4

F(2)= 2²-5 = -1

F(3)= 3²-5 = 4

Esta garantida a existência de uma ou mais raízes em (2,3).

Então, F’(x) = 2x

Aplicando o método:

N	An	Bn	Xn	F(Xn)	E
0	-3,00000	-2,00000	-2,50000	1,25000	-0,50000
1	-2,50000	-2,00000	-2,25000	0,06250	-0,25000
2	-2,25000	-2,00000	-2,12500	-0,48438	-0,12500
3	-2,25000	-2,12500	-2,18750	-0,21484	-0,06250
4	-2,25000	-2,18750	-2,21875	-0,07715	0,03125

Logo a raiz negativa é aproximadamente -2,21875.

Método de Newton- Raphson:

F(x) = x²-5

F’(x) = 2x

F’’(x) = 2 → Int. (2,3)

Queremos x0  tal que F(x0). F”(x0) >0, logo x 0 = 2.

N	Xn	F(Xn)	F’(Xn)	F(Xn)/ F’(Xn)	Xn+1
0	2,00000	-1,0000	4,00000	-0,25000	2,25000 = x1
1	2,25000	0,06250	4,50000	0,01389	2,23611 = x2
2	2,23611	0,00019	4,47222	0,00004	2,23607 = x3

A raiz é aproximadamente 2,23607.

Método Iteração linear:

1)F(x) = x²-5 →→ x² = 5 → x = ±√5→ x = √5( função constante)

2) x²-5 = 0        x.x = 5 →  x= 5/x, x ≠ 0 (não existem raízes).

Logo, não é possível resolver por este método.

3° QUESTÃO

F(x) = x²-x-1

Método da Bisseção:

Resolução:

F(0)= -1

F(1)= -1

F(2)= 1

Esta garantida a existência de uma ou mais raízes em (1,2).

Aplicando o método:

N	An	Bn	Xn	F(Xn)	E
0	1,00000	2,00000	1,50000	-0,25000	0,50000
1	1,50000	2,00000	1,75000	0,31250	0,25000
2	1,50000	1,75000	1,62500	0,01563	0,12500
3	1,50000	1,62500	1,56250	-0,12109	0,06250
4	1,56250	1,62500	1,59375	-0,05371	0,03125

Logo a raiz é aproximadamente 1,59375.

Método de Newton- Raphson:

F(x) = x²-x -1

F’(x) = 2x-1

F”(x) = 2

Logo x0 = 2

N	Xn	F(Xn)	F’(Xn)	F(Xn)/ F’(Xn)	Xn+1
0	2,00000	1,00000	3,00000	0,33333	2,66666 = x1
1	2,66666	3,44444	4,33332	0,79487	1,87179 = x2
2	1,87179	0,63181	2,74358	0,23029	1,84876= x3

A raiz é aproximadamente 1,87179.

Método Iteração Linear:

F(x) = x²-x +1

1) x²-x +1 = 0 → x = x²-1  :              F’(x) =2x

2) x.x = x +1 →  x = (x +1)/x  :         F’(x) = lnx

3) x = x² +1  →  x = √(x +1)  :          F’(x) = 1/(2. √(x +1) )

Fazendo um esboço da função, com raízes -1,62 e 1,62, o que afirma a existência de um raiz positiva no intervalo (1,2).

Vê- se que a escolha do x 0  pode recair em  x 0 = 1,7.

P/ φ3 (x) = √(x +1)  e n= 4                           Xn+1 = φ3 (x1), n= 0,1...

x 0 = 1,7

x 1= φ3 (xo) = √(1,7 +1) = 1,64317   

x 2 = φ3 (x1) = φ3 (1,64317) = 1,62578

x 3 = φ3 (x2) =  φ3 (1,62578) = 1,62043

x 4 = φ3 (x3) =  φ3 (1,62043) = 1,61877

x 5 = φ3 (x4) = φ3 (1,61877) =  1,61826

Para as quatro interações a raiz é 1,61826

A convergência era esperada pois, φ’3 = 1/(2. √(x +1) ), em (1,2), logo φ’3 < 1/2√2<1

4° QUESTÃO

Método da Bisseção:

F(x) = x³-2x -5

F(2) = -1

F(3) = 16

N	An	Bn	Xn	F(Xn)	E
0	2,00000	3,00000	2,50000	5,62500	0,50000
1	2,00000	2,50000	2,25000	1,89063	0,25000
2	2,00000	2,25000	2,12500	0,34570	0,12500
3	2,00000	2,12500	2,06250	-0,35132	0,06250
4	2,06250	2,12500	2,09375	-0,00894	0,03125

Logo a raiz é aproximadamente 2,09375.

Método de Newton- Raphson:

Resolução:

F’(x) = 3x²-2

F’’(x) = 6x

Queremos x0  tal que F(x0). F”(x0) >0, logo x 0 = 2.

N	Xn	F(Xn)	F’(Xn)	F(Xn)/ F’(Xn)	Xn+1
0	2,00000	-1,0000	10,00000	-0,10000	2,1000= x1
1	2,10000	0,06100	11,23000	0,00543	2,09457=x2
2	2,23611	0,00021	11,16167	0,00002	2,09455=x3

Logo a raiz é aproximadamente 2,09455.

Método Iteração Linear:

1) x³ = 2x + 5 → x = ( 2x+5)⅓

2) 2x = x³-5  →  x = (x³-5)/ 2

3) x.x =2x-+5    x =(2x-+5) / x² 

P/ φ3 (x) = (x³-5)/ 2

n= 4                           Xn+1 = φ3 (x1), n= 0,1...

x 0 = 2

x 1= φ3 (xo) = (2³-5)/2 = 1,5               

x 2 = φ3 (x1) = φ3 (1,5) = -0,81250

x 3 = φ3 (x2) =  φ3 (-0,81250) = -2,76819

x 4 = φ3 (x3) =  φ3 (-2,76819) = -13,10615

A convergência era esperada pois, φ’3 =(x³-5)/ 2, em (2,3), logo φ’3 < k<1

5° QUESTÃO

F(x) = x²-(2 elevado a x)

Pelo método da bisseção encontramos 2 raízes:

f(2) = 0

f(4) = 0

Pela definição se f(x) = 0 então xi = raiz de f.

6° QUESTÃO

f(x) = (2 elevado a x) – 3x²

Pelo método da bisseção:

f(0) = 1

f(1) = -1

O intervalo cujos extremos são inteiros consecutivos é [0;1].

N	An	Bn	Xn	F(Xn)	E
0	0,00000	1,00000	0,50000	0,66421	0,50000
1	0,50000	1,00000	0,75000	-0,00571	0,25000
2	0,50000	0,75000	0,62500	0,37034	0,12500
3	0,62500	0,75000	0,68750	0,19252	0,06250
4	0,68750	0,75000	0,71875	1,47356	0,03125
5	0,71875	0,75000	0,73438	0,04574	0,15630
6	0,04574	0,75000	0,39787	0,84265	0,00781
7	0,39787	0,75000	0,57394	0,50036	0,00391
8	0,57394	0,75000	0,66197	0,26763	0,00195
9	0,66197	0,75000	0,70599	-0,44509	0,00098

São necessárias 10 etapas para determinar o erro inferior a 0,001

Método Iterativo

Uma solução por iteração consiste em tomar uma avaliação inicial como sendo a resposta correta e, por repetição (iteração) de alguns passos, tentar melhorar a avaliação de maneira que nos aproximemos da resposta correta.

Exemplificando Método Iterativo

F(x) = x² - 5x + 4 = 0

Uma maneira fácil de escrever

5x = x² + 4

x = (x² + 4) / 5

Equação que para s fins de iteração fica

xi+1 = ((xi)² + 4) / 5

Tomando o valor inicial arbitrário x0 = 2, temos

x1 = (2² + 4) / 5 = 8 / 5 = 1,6

x2 = (1,6² + 4) / 5 = 6,56 / 5 = 1,312

x3 = (1,312² + 4) / 5 = 5,721 / 5 = 1,144

x4 = (1,144² + 4) / 5 = 5,309 / 5 = 1,062

x5 = (1,062² + 4) / 5 = 5,126 / 5 = 1,025

x6 = (1,025² + 4) / 5 = 5,051 / 5 = 1,010

x7 = (1,010² + 4) / 5 = 5,020 / 5 = 1,004

Notamos que partindo do valor inicial arbitrário x0 = 2 o processo está obviamente convergindo para raiz correta x = 1.

Para acharmos a segunda raiz x = 4 transformamos a equação e repetimos o processo ate encontrar a convergência.

Convergência de um método interativo

Convergência método da bisseção:

A maior vantagem do método da bisseção é que, para sua convergência, não há exigências com relação ao comportamento do gráfico f no intervalo [a,b]. Entretanto ele não é eficiente devido a sua convergência lenta. Pode ser observado que f(x) não decresce monotonicamente. Isto decorre ao fato que na escolha de uma aproximação de x = a + b / 2 não de leva em consideração os valores da função nos extremos do intervalo. No pior caso, a raiz ε esta próxima a um extremo. O método da bisseção é mais usado para reduzir o intervalo antes de usar outro método de convergência mais rápido.

Convergência método Newton-Raphson:

O método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática). Entretanto apresenta algumas desvantagens:

(i) Exige o calculo e a analise do sinal de f’e f’’

(ii) Se f’(xk-1) for muito elevado, a convergência será lenta.

(iii) Se f’(xk-1) for muito próximo de zero pode ocorrer overflow.

Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da aproximação inicial, é

comum apenas calcular-se o valor da função e o de sua derivada segunda nos extremos a e

b, considerando para x0 o extremo que satisfazer a condição f(x0)f’’(x0) > 0. Para tanto,

é importante que o intervalo [a; b] considerado seja suficientemente pequeno, de forma a

minimizar a possibilidade de variação de sinal de f’ e f’’.

Convergência método iteração linear:

Sua maior dificuldade é achar uma função de iteração que satisfaça a condição de convergência.

O teste │f’(x0) │< 1 pode levar a um engano se x0 não estiver suficientemente próximo da raiz. A velocidade de convergência dependerá de │f’(ε) │: Quanto menor este valor maior será a convergência.

Critérios de Parada

A sequência de aproximações pode ser infinita. Como se pretende obter

uma aproximação à solução implementa-se um critério de parada.

Estimativa do erro relativo

dk = |xk+1 − xk| / |xk+1| ≤ ε

Valor da função

|f(xk+1)| ≤ ε

Número máximo de iterações

k > n máx

BIBLIOGRAFIA:

Calculo Numérico, Barroso.

Introdução aos Métodos Numéricos, Peter Stark.

Conteúdo dado em sala de aula.